几种分布

前面说过，抽样出来的集合（$X_1,X_2,...X_n$），也是有分布的，他们的分布，他们的“函数”（统计量），也有一个分布了吧。

这里多说一句，你不是抽样么，你可以抽无数次啊（假如是放回抽样），我们说这个分布，指的是无数次的抽样的分布，这里的分布，就是你无数次抽样后， 这帮统计量的分布。

好，这帮货都会呈现啥分布呢？答案是常见的有“$\mathcal{X}^2卡方分布,t分布，F分布$”，参考：1,2吧。

渐进分布

抽样集合符合一个分布，当抽样量大了以后，这个分布会趋向一个稳定分布，这个分布就叫这个统计量的渐进分布。

提这个概念干啥，是为了引出下面的这玩意：

如果$X_1,X_2,...$是总体样本N（0,$\sigma^2$）的样本集，可以证明，

• $\sqrt{n}\bar{X}/\sigma$ ~ N（0，1）

这个结论很有用，对后面假设检验，就构建这个统计量，用于假设检验。

$\mathcal{X}^2$卡方分布

当 $X_i$ 服从标准正态分布（N（0,1））,由它构造出来的统计量，$\sum_1^n X_i^2$ 服从$\mathcal{X}^2$卡方分布。

n叫做自由度，自由度可以解释为自由的独立变量的个数，我也没深究。

对于卡方分布，一堆正态分布的平方和 就呈现了卡方分布。

T分布

X ~ N（0，1）标准正态分布，Y ~ $\mathcal{X}^2$卡方分布，那，他们的合体，$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为n的T分布。

好了，你现在可以用这玩意了，

你抽出来的样本（$X_1,X_2,...X_n$），我们用他们构建一个新的统计量，

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_1^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1}\sum_1^n (X_i - \bar{X})^2$，

你看，前者是个正态分布，后者是个$\mathcal{X}^2$卡方分布，两者一凑（当然还得做一下归一化成标准正态分布啥的），就合体完正好服从T分布了。

嘿！你看，理论结合实践了，用起来了，居然把凑出的统计量，套到了一个T分布上了，哈哈。这T分布用处可以多了，后面会用的。

$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} ~ t(n-1)$

一般来说，当你的样本量很小（30个以下）或者你不知道总体标准差时，就会使用t分布，这也就是很多检验都用t分布，因为现实中这种情况非常见；当n>=30的时候，t分布就很接近正态分布了。

总结一下，一个正态分布除以一个卡方分布，就变成了T分布。

• 参考

F分布

再接再来，我们再“凑”一个新的分布出来！

先说说新引出的F分布，

Y 服从~ 自由度为m的$\mathcal{X}^2$卡方分布，Z 服从~ 自由度为n的$\mathcal{X}^2$卡方分布，俩合体一下，就变成了F分布。

$X=\frac{Y/m}{Z/n}=\frac{nY}{mZ}$

这合体，称作第一自由度为m，第二自由度为n的F分布：F（m,n）

总结一下，一个卡方分布分布除以另外一卡方分布T分布，就变成了F分布