王燕 - 时间序列分析

第一章

随机序列：$X_1,X_2,...,X_t$

每个$X_t$都是一个随机变量，

你观察到的是$x_1,x_2,...,x_t$，是一组观察值，$x_1$是随机变量$X_1$的一个观察值，同理，$x_2$是随机变量$X_2$的一个观察值，...。

$x_1$是你的一次观察值，你如果可以跳入一个平行宇宙，在观察这个时刻，可能得到的是不同的$x_1'$。

这其实是一个联合分布$F_{t_1,t_2,...t_m}(x_1,x_2,...x_m)$。

因为，每个$x_t$都来自不同的随机变量，这么多随机变量搅在一起，研究起来太困难了，所以，一定得有一些简便的方法才行。比如，这些随机变量$X_t$，都有同一个的分布、或者同样的均值、方差啥的，使得研究可以简便化。

平稳序列：时间序列的统计特性不随时间而变化，

进一步，这就意味着，我们关心的是，这个序列的两个时刻的数据呈现出来的相关性，且保持稳定。

这样，就可以利用这种稳定的特性，对未来进行预测了。←这才是我们最主要的目的。

时间序列的理论发展，经历了以下的理论发展和完善的过程：

• G.U.Yule 1927, 自回归AR模型
• G.T.Walker,1931,移动平均MA模型，ARMA模型
• G.E.P. Box, G.M.Jenkins, 1970, ARIMA模型（Box-Jenkis模型），适用非平稳单变量同方差
• 汤家豪，1980，门限自回归，非线性
• Robert F.Engle, 1982,ARCH模型，异方差
• Bollerslov，1985，GARCH模型，异方差
• C.Granger，1987，_协整_co-integration理论，适用于多变量场合

第二章

特征统计量

• 均值序列$\{\mu_t\}$：这个是一个序列哈，不是1个值，也即是每个时刻$t$，都会有一个$\mu_t$。

• 方差序列$\{\sigma_t\}$：这个也是个序列，每时刻一个值，$DX_t = E(X_t - \mu_t)^2$

  你可能会说，我某个时刻其实只得到了一个值啊，那咋去求均值、方差啊；要是可以把剩下的别的时刻的值一起拿来取均值、方差，多好啊？是的，我们确实想这样做，但是得要求这个时间序列需要时平稳的才可以这样做，即，每个时刻的随机变量$X_t$，都具备相同均值，相同方差。

• 自协方差函数: $\gamma(t,s) = E(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)$，这个是说点时刻t，和点时刻s，这两个时间点的协方差。你可能会困惑，这不就2个值么，一个t的，一个s的？别忘了，t时刻是个随机变量，s时刻也是，她们会有很多值的（在平行宇宙里），所以就会出现$((x_{t1},x_{s1}),(x_{t2},x_{s_2}),...(x_{t_m},x_{s_m}))$，看这不就是一堆了么，就可以算协方差了么吧！

  继续品，

  这个$\gamma(t,s)$其实是一个数，是t开始序列，和s开始的序列，这个两个序列之间的协方差；但是，你换一个t、换一个s，又会算出一个数来。比如$\gamma(t',s')$，就又不同了，可以理解吧。

  你一定要理解，所谓t开始的序列，是嘟嘟嘟的一个序列，一堆数，$x_{t_0},x_{t_1},x_{t_2}....$

• 自相关系数（ACF）：$\rho(t,s) = \frac{\gamma(t,s)}{\sqrt{DX_t \cdot DX_s}}$，其实就是自协方差函数做了一个归一化

平稳性

我们一般说平稳序列，都是指”宽“平稳，而不是”严“平稳。

严平稳是非常苛刻的：所有的统计性质，都不会随时间改变而变化。你看！这要求多严格啊。

所以，我们放松了条件，就”宽“起来了：

宽平稳：

我们只要求特征统计量不随着时间而改变，注意，这里是统计量了，就是你抽样出来的样本作为统计量，他们呈现一个稳定特征就可以了。

更具体来说，只要保证时间序列的一阶矩（均值）、二阶矩（方差、协方差）不变就可以。

定义：

如果$\{X_t\}$满足以下3个条件：

• $\forall t \in T$，有$EX_t^2< \infty$
• $\forall t \in T$，有$E(X_t) = \mu$（常数）
• $\forall t,s,k \in T$，且$k+s-t \in T$,有$\gamma(t,s)=\gamma(k,k+s-t)$

则称$\{X_t\}$为宽平稳时间序列，或者弱平稳、二阶平稳（二阶就是指二阶矩）。

第三条，想表达的就是，距离相等的2个时间序列，不管怎么“平移”，只要间隔不变，都是一个稳定值。和起点、终点无关，只和间隔时间有关。

所以，后面自相关系数（ACF）得算多个不同间隔的相关性，也是基于这一点。

平稳性推论

因为$k+s-t \in T$,有$\gamma(t,s)=\gamma(k,k+s-t)$，所以，可以将二维的自协方差函数，转化为一维函数，即：$\gamma(t,s)=\gamma(s-t)$，啥意思呢？就是本来是你需要两个变量，t和s，现在你只需要一个变量了$\Delta t=s-t$，也就是他们俩的间隔k，这就是个一维变量了哈。

举例说明：$\gamma(0,5) => \gamma(5)$

这样就可以导出一个新概念，“延迟k阶自协方差函数”：

$\gamma(k)=\gamma(t,t+k)$，

一元函数吆！还可以推导出：

$D(X_t) = \gamma(t,t)=\gamma(0)$

然后，进一步，可以引出“延迟k阶自相关系数”

$\rho_k = \frac{\gamma(t,t+k)}{\sqrt{DX_t\cdot DX_{t+k}}} = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}$

需要说明一下分子为何等于$\gamma(0)$: 原因是$DX_t=\gamma(0)$,$DX_{t+k}也=\gamma(0)$,所以，相乘再开方还是$\gamma(0)$.

后面的研究中，多使用$\rho_k$自相关性系数，而不是自协方差$\gamma(k)$,他俩其实就是差一个常数$\gamma(0)$。

平稳性的重大意义

本来每个时刻都是随机变量（超复杂），但是因为平稳性，变成了2个时刻开始的序列的相关性，再由于平稳性性质3，导致变成了一个间隔k的一维函数。

具体来说，

本来一个随机序列$\{X_t\}$，每个时刻都是一个随机变量，那么就个时刻都会有自己的均值、方差，这个前面提到了。现在有了平稳性，那么就出现了$\mu_{X_{t_0}} = \mu_{X_{t_1}} = = \mu_{X_{t_2}} = ....$，yeah，不同时刻的统计特性一样了，这样，每个时刻的那单独一个值，就可以变成1个样本，跨时间的（也就是跨随机变量的）的不同样本，可以纳入到一起来作为统计的样本了，就可以做统计估计了。

根据平稳序列二阶矩（协方差）平稳的性质：

$\hat{\gamma}(k)=\frac{\sum_{i=1}^{n-k}(x_t-\bar{x})(x_{t+k}-\bar{x})}{n-k}$，这个就是用样本，来做协方差的矩估计，

那么

$\hat{\gamma}(0)=\frac{\sum_{i=1}^{n-k}(x_t-\bar{x})^2}{n-1}$，分母是n-1才是无偏估计，

有了$\hat{\gamma}(k),\hat{\gamma}(0)$的估计值后，就可以来估计$\hat{\rho}(k)$了，

$\hat{\rho}(k)=\frac{\hat{\gamma}(k)}{\hat{\gamma}(0)} = \frac{\sum_{i=1}^{n-k}(x_t-\bar{x})(x_{t+k}-\bar{x})}{\sum_{i=1}^{n-k}(x_t-\bar{x})^2}$，（注：当n很大和k远远小于n的时候，n-1和n-k接近，就约掉了）。

平稳性检验

接下来的问题就是，给我一个序列，那我怎么知道，这个序列是不是具备平稳性呢？

有4种办法：

1、时序图检验（图检验法）

2、自相关图检验法

3、ADF假设检验

4、KPSS假设检验

1、时序图检验（图检验法）

其实，就是观察序列的值，因为平稳的序列均值方差都是固定的，所以观察到的序列，也应该围绕这一个值上下波动，不会呈现上升或者下降的趋势，也不会波动超出一定的范围（方差固定的体现）。

这种方法，可以定性排除非平稳序列，但是对于无法排除的，就不好确定其平稳性了。

这个方法，相当粗糙和不靠谱，我们需要更定量的方法。

2、自相关图检验法

这个方法的依据是：平稳序列往往具备短期相关性，这个关系可以用自相关系数来描述，随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数，应该会很快衰减为零。

如果向0值收敛慢，甚至不收敛到0，就认为这个序列是非平稳的。

比如，我计算一个时间序列，延迟是1日，延迟是2日，延迟是3日….的自相关系数，也就是把序列平移1日、2日、3日…，得到的另外一个序列和原序列计算相关系数，所以每个延迟日都会得到一个相关系数：

如果自相关系数列，快速衰减到0，那么这个序列是平稳的；但是，如果非常慢地向0衰减、不衰减、甚至震荡，都说明这个时间序列不是平稳的。

一般不同延迟日的自相关系数，都会在2倍标准差之内，这是一个假设检验的标准，如果自相关系数逐渐超出了2倍标准的范围，那么他就不是一个平稳序列。这个是王燕老师提到的一个假设检验的方法，比前面提到的快速衰减到0更具备操作性。

3、ADF检验

也叫做单位根检验。ADF检验全称是 Augmented Dickey-Fuller test，顾名思义，ADF是 Dickey-Fuller检验的增广形式。DF检验只能应用于一阶情况，当序列存在高阶的滞后相关时，可以使用ADF检验，所以说ADF是对DF检验的扩展。ADF检验就是判断序列是否存在单位根：如果序列平稳，就不存在单位根；否则，就会存在单位根。

关于单位根的概念，参考附录

即，序列中单位根的存在，那么序列是非平稳；否则，平稳的。

原假设：假设是非平稳的，即序列有一个单位根(a=1的值)，

备择假设：该序列没有单位根。

如果不能拒绝原假设，则该序列是非平稳的，这意味着序列可以是线性的，也可以是差分平稳的(将在下一节中更多地了解差分平稳)。

【为何需要ADF】

之前有自相关图的检验法，比如看看把序列和延迟1期、2期、。。。N期的序列，求一个自相关系数，这个自相关系数，应该很快衰减才对，才是平稳的，这个方法很直观，也好理解，但是，这玩意没法定量啊，大家更希望，是一个公式，你一算，就得到一个数，大于它就不是平稳的，小于它就是平稳的，诸如此类的方法，多好啊。

那么，就引出了DF

【DF统计量】

【定义】

一个时间序列平稳，叫”零阶单整“，记做$I(0)$，

如果一阶差分后，平稳了，就叫”一阶单整“，记做$I(1)$，也称作，”单位根过程“

我理解，就是

$y_t = \alpha + \beta y_{t-1}+\varepsilon_t$y

要$\beta<1$，才可以，直觉上好理解，

如果是1，那$y_t$就是一个随机序列了，

如果>1，按肯定是不收敛，越变越大发散掉了。

但，如果序列是一个这种序列：$y_t = \alpha + \beta_1 y_{t-1}+\beta_2 y_{t-2}+\beta_3 y_{t-3}+...+\beta_n y_{t-n}+\varepsilon_t$

可以写成一个n次多项式的方程，叫特征方程:

$x^n = \alpha + \beta_1 x^{n-1}+\beta_2 x^{n-2}+\beta_3 x^{n-3}+...+\beta_1 x_+\varepsilon_t$,

书里，一般都去掉扰动项，用$\lambda$来代替x，所以写成：

$\lambda^n - \phi_1 \lambda^{p-1} - \phi_2 \lambda^{p-2} - ... - \phi_p \lambda =0$

然后，假设这个特征方程的n个根绝对值都小于一：$|\lambda_i|<1, i=1,2,...,p$

（n次多项式方程会有n个根，包括虚根和重根哈，这是一个代数定理推论得出的，参考附录多项式的复根）

那如何判断呢，那就用到假设检验了，

就是她们说的，原假设 $H_0:$

所以等于他们说的是没有单位根，

单位根定义：$z^n=1$的n个根，就叫做n次单位根，记做$\xi_k(k=1,2,...,n)$。

【参考】

• 【特征根法】求解一类数列的通项公式，里面提到了特征方程，就是：
  • 把递推序列变成一个N次多项式的方程，
  • 然后求解出方程的根，
  • 然后就可以表示出通项公式$a_n=A\alpha^n + B\beta^n$，其中的$\alpha,\beta$就是特征方程的根，
  • 然后再求出A、B
• 14.5单位根检验
• 单位根检验、ADF检验、平稳性检验
• 时间序列：单位根检验原理
• 单位根过程
• ADF检验数据平稳性，
• 平稳性检验（单位根检验、ADF检验），
• 11单位根ADF检验-，
• 手把手教你用Python处理非平稳时间序列

4、KPSS检验

原假设：原假设定义为趋势平稳，

备择假设：备择假设定义为单位根序列。

关于单位根的概念，参考附录

from statsmodels.tsa.stattools import kpss

result = kpss(data,regression='c')

>>
Test Statistics     :  1.052 <- 统计量 1.052 < 临界值 0.347/0.463/0.574/0.739，所以平稳
p-value             :  0.01  <- 实际概率也很小，说明不推翻原假设
Lags                :  14
Critical Value(10%) :  0.347 
Critical Value(5%)  :  0.463 
Critical Value(2.5%):  0.574 
Critical Value(1%)  :  0.739

平稳性检验：如果检验统计量大于临界值，则拒绝原假设(序列不是平稳的)。

如果检验统计量小于临界值，则不能拒绝原假设(序列是平稳的)。

ADF和KPSS的区别

ADF和KPSS的区别：

ADF检验有线性平稳或差分平稳的备择假设，而KPSS检验则是识别序列的趋势平稳

两种平稳检验后的可能结果：

• 结果1：两种检验均得出结论：序列是非平稳的->序列是非平稳的
• 结果2：两种检验均得出结论：序列是平稳的->序列是平稳的
• 结果3：KPSS =平稳；ADF =非平稳->趋势平稳，去除趋势后序列严格平稳
• 结果4：KPSS =非平稳；ADF =平稳->差分平稳，利用差分可使序列平稳。

（备注：三种平稳）

• 严格平稳：严格平稳序列满足平稳过程的数学定义。严格平稳序列的均值、方差和协方差均不是时间的函数。我们的目标是将一个非平稳序列转化为一个严格平稳序列，然后对它进行预测。
• 趋势平稳：没有单位根但显示出趋势的序列被称为趋势平稳序列。一旦去除趋势之后，产生的序列将是严格平稳的。在没有单位根的情况下，KPSS检测将该序列归类为平稳。这意味着序列可以是严格平稳的，也可以是趋势平稳的。
• 差分平稳：通过差分可以使时间序列成为严格平稳的时间序列。ADF检验也称为差分平稳性检验。

仅平稳检验不行

平稳的检验通过后，就可以对时间序列建模了么？

答案是否定的！

还需要对时间序列做随机性检验，它得是一个非随机序列才可以，如果是随机的话，看似平稳，但实则没有预测的意义的。

既平稳，又不是随机序列，才行，才有建模的意义！

随机性检验

纯随机序列，就是白噪音序列，啥是白噪音序列呢？满足两点的就是：

• $E(X_t) = \mu$ ，均值是个常数。

• $\gamma(t, s)=\left\{\begin{array}{c} \sigma^{2}, t=s \\ 0, t \neq s \end{array}, \forall t, s \in T\right.$，t=s，就是自己对自己的协方差，就是$\gamma_0$，是个常数。

  不同时刻的序列，没有任何相关关系，比如，当前开始的序列，和10分钟以后开始的序列，没有任何关系（协方差为0）。

所以白噪音的以下性质：

性质1：

$\gamma(k)=0, \forall k \neq 0$，即任意阶数不为0的协方差都为0，没有任何可以可以提取的有意义的信息，是“没有记忆性”的。

我们做时间序列分析的目的，就是要找出有规律的这种相关关系，好用它来预测未来。

平稳的时候，这个相关关系保持不变，就可以利用他了。

如果把这个相关关系提取后，剩余的序列如果没有什么可以提取的信息的话，它就应该就剩下一个白噪音了，这个结论也挺有意思的。这个方法，可以用来检验，某个模型的显著性的，显著性检验我理解就是，这个模型是不是提取出去了某种规律了，显著滴。

性质2：

$D(X_t)=\gamma(0)=\sigma^2$

白噪音方差固定，不过，平稳序列的方差也是个固定的常数，注意区别。

这个也叫，方差齐性， 就是方差是个常数。

纯随机性检验：

了解了白噪音定义和性质，那么，接下来看看，如何检验一个序列是不是白噪音序列？

方法是通过假设检验来验证一个序列是不是随机序列，这样做的原因是，前面的性质1 “无记忆性”里面提到了，所有阶的相关系数都应该为零。所以，我们提出原假设：

原假设：

延迟数小于m的序列相互独立，

即：$H_0:\rho_1=\rho_2=...=\rho_m=0$

那么，备择假设：

延迟数小于m的序列之间存在相关性

即：$H_1:存在某个\rho_k \neq 0$

接下来，那就要构建统计量了，有两个统计量都可以用来做检验：

1、Q统计量：

$Q=n\sum_{k=1}^{m} \hat{\rho}_{k}^{2} \sim \chi^{2}(m)$

2、LB统计量：

$L B=n(n+2) \sum_{k=1}^{m}\left(\frac{\hat{\rho}_{k}^{2}}{n-k}\right) \sim \chi^{2}(m)$

样本少的时候，Q统计量不如LB，所以最好的办法，就是，都用LB统计量了。

n是序列的长度，m是lag阶数。

这里有个问题，m取多少？

m是个经验值，一般选6或者12。也就是，从1一直做到6，或者从1一直做到12，做6次或者12次的延迟序列之间的相关系数计算，如果有一个显著不为0，就认为这个序列不是白噪音。

老师解释了一下，为何做到6或12就够了呢，因为平稳时间序列，具备短期相关性，短期有，就有，超过6、12的概率非常小了。

第三章

方法性工具

可以对一个序列进行预处理，常用的方法有差分运算、延迟算子

上一章讲的是，你如何知道一个序列是不是平稳的，

这章呢，是要用一个模型，就是一个递推式，去拟合这个序列，

那么我们得要求这个递推式就得是平稳的才行，即得先判定模型的平稳性，

还要研究这个模型代表的生成出来的序列的统计特性：均值、方差、协方差、自相关性、偏自相关性。

差分运算

一阶差分：$\nabla x_t = x_t - x_{t-1}$

二阶差分：$\nabla^2 x_t = \nabla x_t - \nabla x_{t-1} = x_t - 2 x_{t-1} + x_{t-2}$

p阶差分：$\nabla ^p x_t = \nabla ^{p-1} x_t - \nabla ^{p-1} x_{t-1}$

k步差分：相隔k步的两个序列之间的减法运算

$\nabla_kx_t=x_t - x_{t-k}$

可以看出，前面的差分相当于是k=1，即1步差分。

注意区分：k阶差分$\nabla ^kx_t$和k步差分$\nabla_kx_t$

延迟算子

延迟算子$B$，可以理解成是把序列按照延迟值，向过去，拨了1个时刻。它更像是一个动作！

$x_{t-1} = Bx_t$

$x_{t-2} = B^2x_t$

…

用延迟算子，来表示p阶差分，和，k步差分：

p阶差分：$\nabla^px_t = (1-B)^px_t = \sum_{i=0}^p(-1)^pC_p^i x_{t-i}$

k步差分：$\nabla _k x_t = x_t - x_{t-k} = (1-B^k)x_t$

王燕老师省去了推导。

ARMA模型

Word分解定理

这是一个引子定义，没给出证明，直接使用结论就好：

平稳序列$\{x_t\}$一定可以分解为$x_t=V_t+\xi_t$。

其中$V_t$叫$\{x_t\}$的确定部分，可以表达成$\{x_t\}$历史信息的线性组合：

$V_t = \sum_{j=1}^\infty \phi_j x_{t-j}$

而$\xi_t$是$\{x_t\}$的随机部分，表达成随机波动的$\{\varepsilon_t\}$的线性组合：

${\xi_t}=\sum_{j=1}^\infty \theta_j \varepsilon_{t-j}$

所以，平稳序列，可以表达为：

$$x_t = \sum_{j=1}^\infty \phi_j x_{t-j} + \sum_{j=1}^\infty \theta_j \varepsilon_{t-j}$$

这个引理很重要，你可以看到，后面的AR、MA以及ARMA都是这个定理的一个体现。

AR模型

具备以下结构的模型，称作p阶自回归模型，记做 AR(p)

$$\begin{cases} x_t = \varphi_0 + \varphi_1 x_{t-1} + \varphi_2 x_{t-2} + ... + \varphi_p x_{t-p} +\varepsilon_t , \varphi_p \neq 0\\ E(\varepsilon_t)=0 \\ Var(\varepsilon_t)=\sigma^2_\varepsilon \\ E(\varepsilon_t\cdot\varepsilon_s)=0, t \neq s \\ E(x_s\cdot\varepsilon_t)=0,\forall s<t \end{cases}$$

• 模型最高阶为p，$\varphi_p \neq 0$保证

• 条件2、3、4，保证了随机干扰序列$\varepsilon_t$是零均值的白噪音序列

  本来条件应该是不同时间点的自协方差系数为零：$\gamma_\varepsilon(t,s)=0, t \neq s$，但是，这里写成了不同时间点的相乘期望为0 $E(\varepsilon_t \cdot \varepsilon_s)=0,t \neq s$，其实是等价的，王燕老师口头证明了一下。

• 条件5，说明当期随机干扰与过去的序列无关

  理解了上面的条件，就好理解$E(x_s\cdot\varepsilon_t)=0,\forall s<t$，来表示，$x_t$和$\varepsilon_t$无关的条件了。

如果$\varphi _0 =0$，叫做中心化$AR(p)$模型

如果$\varphi _0 \neq 0$，就可以通过中心化变换，把序列标称中心化AR(p)模型：

令 $\mu = \frac{\varphi_0}{1-\varphi_1 - \varphi_2 - .. - \varphi_p}$, $y_t = x_t - \mu$

那么$\{y_t\}$就是对$\{x_t\}$的中心化序列。

中心变化，对序列值之间的相关关系没有任何影响，一般都是需要中心化处理，对中心化AR(p)进行处理的。

从可视化上看，其实就是原序列向上或者向下，平移了$\mu$个单位。

AR模型平稳性判断

AR模型是上面的那个数学表达，为的是，去尽量拟合真实的时间序列。但是这个数学表达出来的序列，可不一定是平稳的。比如$x_t = -1.1 x_{t-1} + \varepsilon_t$，就不是一个平稳序列。

对，我们要判断，一个模型是不是平稳的，也就是这个递推表达式（也就是模型）是不是平稳的，因为，只有平稳的，我们才能用它对真实序列去拟合。

所以，你还得对这个模型，进行平稳性检验。

注意：这里是对模型进行平稳性检验，不是对模型拟合的真实序列进行平稳性检验！

王燕老师讲了图形法，没啥使用价值，不记录了。

常用的是特征根判别方法，和，平稳阈的判别方法。

特征根诊断方法：

特征根方法的推导，王燕老师说比较繁琐，不给推导了，直接给结论。会用就可以。

AR(p)模型：

$x_t = \varphi_0 + \varphi_1 x_{t-1} + \varphi_2 x_{t-2} + ... + \varphi_p x_{t-p} +\varepsilon_t$

即$x_t - \varphi_0 - \varphi_1 x_{t-1} - \varphi_2 x_{t-2} - ... - \varphi_p x_{t-p} = \varepsilon_t$

你时间一流逝，就会有$x_1,x_2,.....$，然后你把这些x带入到这个方程中，

然后，你就可以去求这个方程的。。。。

TODO: 需要搞定以下知识点:

参考：

• 斐波那契数列通项推导过程中凭什么定理断定它能写成两个等比数列的和？
• 什么是特征方程？为什么不同的数学应用上都会出现它？它的作用是什么？

对应的特征方程：$\lambda^p - \varphi_1\lambda^{p-1} - \varphi_2\lambda^{p-2} - ... - \varphi_p = 0$

这个特征方程怎么来的需要进一步学习？

特征根：$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_p$

然后，就可用求出的特征根们，来判断这个序列是否平稳了：

1、这p个特征根都要落在单位圆形内

2、根据特征根，和，自回归系数多项式的根，互为倒数的性质，等价判别条件是，自回归多项式$\Phi(u)=0$的根，都在单位圆外

TODO：自回归多项式？？？为何互为倒数？？？

例子：

$x_t = -0.3 x_{t-1} + 0.1 x_{t-2} + \varepsilon_t$

方法（1）特征根判别法

写出特征方程：$\lambda^2 + 0.3 \lambda - 0.1 = 0$

解出特征根：$\lambda_1 = -0.5, \lambda_2 = 0.2$

这两个特征根都在单位圆内，因此模型平稳

方法（2）自回归系数多项式的根的判别法

写出自回归系数多项式：$1+0.3B-0.1B^2=0$

解出两个根：$B_1=-2, B_2=5$

两个根都在单位圆外，因此模型平稳。

如果p阶数就是1、2，就容易解出特征方程，但是要是p阶数多了，就不好解了，

这个时候，就需要下面的平稳域判别法了：

平稳域判别：

前面，我们知道，AR(p)模型平稳，就得要求$(\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_p)$，这些参数，构成的p维度空间中，得有一个范围，这个范围的这些参数，可以使得特征根，都在单位圆内。

这个范围，这个$(\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_p)$的N维度取值范围，就是“平稳域”。

先看看AR(1)：$x_t = \varphi_1x_{t-1} + \varepsilon_t$

写出他的特征方程：$\lambda - \varphi_1 = 0$

特征根为：$\lambda = \varphi_1$

因为平稳条件是特征根要在单位圆内，

所以$|\lambda|<1 => |\varphi_1|>1$

所以AR(1)平稳域为：$\{\varphi_1 | -1<\varphi_1<1\}$

再看看AR(2)：$x_t = \varphi_1x_{t-1} + \varphi_2 x_{t-2}+ \varepsilon_t$

写出他的特征方程：$\lambda^2 0 - \varphi_1 \lambda - \varphi_2 = 0$

特征根为：$\lambda_1 = \frac{\varphi_1+\sqrt{\varphi_1^2+4\varphi_2}}{2}, \lambda_2 = \frac{\varphi_1 - \sqrt{\varphi_1^2+4\varphi_2}}{2}$

因为平稳条件是特征根要在单位圆内，

所以要求：$|\lambda_1|<1, |\lambda_2|<1$

z最终推导出AR(2)平稳域为：$\{\varphi_1,\varphi_1 | -1<\varphi_1<1, \varphi_2 \pm \varphi_1 <1\}$

这个正好是一个三角区域（参见视频）

不等式推导过程，我自己没推出来，直接记住老师这个结论吧。

怎么应用呢？

再来看看之前的例子：

例子：

$x_t = -0.3 x_{t-1} + 0.1 x_{t-2} + \varepsilon_t$

方法（3）：平稳域判别的

根据模型结构，可得$\varphi_1=-0.3, \varphi_2 = -0.1$

因为：

1、$|\varphi_1|=0.1<1$

2、$\varphi_2 + \varphi_1= -0.2<1$

3、$\varphi_2 - \varphi_1= 0.4<1$

三个条件都满足，2阶AR(2)的平稳域判别的条件，所以，该模型平稳。

注意个细节：判别式子中，$\varphi_2$ 是在前面的。

附录

单位根

参考：

• 多项式的复根与单位根
• 单位根

多项式的复根

代数基本定理推论：n次复系数多项式方程，在复数范围内，有且只有n个根（重根按重数计算），

说白了：就是n次多项式n个解（算上重根噢）

视频没给证明，记住结论就好。

注意，是在复数域才成立，在实数域就不成立，比如$x^2+1=0$

虚根成对定理： 实系数一元n次方程，复数根以共轭形式成对出现，即$z=a+bi$是实数的有一个根，那么$\bar{z}=a-bi$，也是一个根。

这里一定是实系数，复系数不一定成立。

韦达定理： 一元n次方程$a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x^1+a_0=0\left(a_n\neq0\right)$

他的n个根有以下性质：

对比$a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right) \cdots\left(x-x_n\right)=0$

$$\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1 x_2+x_1 x_3+\cdots+x_{n-1} x_n=\frac{a_{n-2}}{a_n} \\\cdots, \\x_1 x_2 x_3 \cdots x_n=(-1)^n \frac{a_0}{a_n}\end{array}\right.$$

而一元二次方程：$ax^2+bx+c =0$，的性质：$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1*x_2=\frac{c}{a}$，是韦达定理的体现。

韦达定理，对n个复根，也一样成立！

复数的开放运算 $^n\sqrt{z}$

复数的开方运算，很复杂，比起加减乘除，结果不是唯一的。

证明：

$$^n\sqrt{z} = x \\ <=>z=x^n\\ x^n-z=0$$

前面的”代数基本定理推论”，n次方程有n个解，所以虚数z，开根号，有n个虚根解。

现在把$z_0=a+bi$表示成类极坐标形式的三角函数表示法：$z_0=r_0(cos\theta_0+ i*sin\theta_0)$，参考

对$z_0$开n次方，本质上就是解方程$z^n=z_0$，则n个复数解为（就是虚数开N次方的N个解为）：

$z_k=\sqrt[n]{r_0}\big(cos\frac{\theta_2k\pi}{n}+i*sin\frac{\theta+2k\pi}{n}),k=1,2,...,n$

证明：

$$(z_k)^n = \\ (\sqrt[n]{r_0})^n (cos(\frac{\theta_0+2k\pi}{n})*n) + i (sin(\frac{\theta_0+2k\pi}{n})*n) \\ = r_0(cos(\theta_0+2k\pi)+i*sin(\theta_0+2k\pi) \\ = r_o(cos\theta_0+isin\theta_0) \\ z_0$$

又因为，n次方程有n个解，所以，k=n，

所以，得出结论，$**z_0$开N次方，有N个复数解**。

其中，证明第二步骤用到了棣莫弗定理：

棣莫弗定理

$$z_1=r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right), \\ z_2=r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right) \\ 则:z_1 z_2=r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right]$$

所以，再强调一下结论：

虚数开方是复杂的，有N个解。

单位根

定义：$z^n=1$的n个根，就叫做n次单位根，记做$\xi_k(k=1,2,...,n)$。

由复数开方公式可得，

$\xi_k = cos\frac{2k\pi}{n}+isin\frac{2k\pi}{n}(k=1,2,...n)$h

这个结果是由上述公式导出的，当前$z_0=1$，所以，$r_0=1,\theta_0=0$。

还有以下性质：

① $\xi_k^n=1$

② $\xi_k$满足方程：$x^{n-1} + x^{n-2} + ... x + 1 =0$

TODO:证明

③ $\xi_k = \xi_1^k$

todo证明

举个例子：

三次单位根为：1，$\omega$，$\omega^2$

其中 $\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，

参考

• 王燕：应用时间序列分析: 1~3章，4章，5章，6章，7章，王燕老师亲自讲的，非常好；但是5-6章是其他老师讲的，讲的不好。
• 应用时间序列分析 ，某学校（不详）的时间序列分析在线课，讲的不错。